Théorie des probabilités – 1A


Objectif

Ce cours met en place les concepts fondamentaux du calcul des probabilités. Il montre comment les outils de la théorie de la mesure, introduits dans le cours « Fondements mathématiques des probabilités», s’adaptent au modèle probabiliste. Il se décompose en trois axes : Les notions de convergences, les lois et espérances conditionnelles et enfin les vecteurs Gaussiens. De nombreux cas concrets illustrent le problème de la modélisation probabiliste.

Acquis de la formation : à l’issue du cours, l’étudiant saura :

– Calculer des lois de probabilité et démontrer l’absolue continuité par rapport à la mesure de Lebesgue
– Enoncer et appliquer les grands théorèmes de convergence de variables aléatoires dans Rd : implication et caractérisation, théorème de Levy, Portmanteau, LGN, TCL…
– Enoncer les définitions et propriétés des lois conditionnelles, savoir appliquer le théorème de Bayes pour les calculer
– Enoncer et démontrer les propriétés et caractérisations de l’espérance conditionnelle dans $L^1$ et $L^2$
– Définir et manipuler les vecteurs gaussiens
– Simuler des variables aléatoires de distribution quelconque en R et calculer numériquement des moments

Mode d'évaluation:

La note finale du cours sera la moyenne de la note de contrôle continu (50%) et de l'examen final (50%). La note de contrôle continue est égale à la moyenne de la note de participation et de la note de mi-parcours. La note de participation est la moyenne de la note de présence et de la note de participation aux TD, laissée à la l'appreciation du chargé de TD.

Plan

– Rappels de théorie de la mesure et de l’intégration – Modèle de l’espace probabilisé ; applications mesurables; Mesure-image et théorème de transfert;  Mesure admettant une densité par rapport à une autre.
– Variables aléatoires : caractérisations, moments et changements de variables – Rappels : Introduction : notion de variable aléatoire; Détermination et caractérisation des lois des variables aléatoires; Etude des moments d’une variable aléatoire; Le problème du changement de variables; Applications diverses
– Fonctions caractéristiques -Définition et premières propriétés des fonctions caractéristiques de variables aléatoires réelles; Propriétés analytiques des fonctions caractéristiques; Théorèmes d’inversion et d’injectivité des fonctions caractéristiques et formules de réciprocité; Fonctions caractéristiques de variables aléatoires à valeurs dans $R$.
– Convergences ponctuelles et fonctionnelle – Convergence presque sûre; Convergence uniforme presque sûre (ou dans $L^{infty}$); Convergence en probabilité (ou stochastique); Convergence dans les espaces $L^p $ . Lois des grands nombres
– Convergence en loi – Définition de la convergence en loi; Critères usuels de convergence en loi; Théorème de Paul LEVY; Propriétés de la convergence en loi ; utilisation de développements limités. 
– Conditionnement et espérance conditionnelle – Conditionnement par un événement dans le cas élémentaire; Lois conditionnelles; Espérance conditionnelle dans $L^2$; Théorie générale de l'espérance conditionnelle.
– Vecteurs Gaussiens : Loi normale, vecteurs Gaussiens dans $R^n$, extension au cas de vecteurs gaussiens dans un espace de dimension finie.  Théorème de Cochrane.

Références

BASS, Eléments de calcul des probabilités, Masson, [16 BAS 00 A]BILINGSLEY, Probability and Measure, second edition, Wiley, [16 BIL 00 B],
COTTREL et Cie, Exercices de probabilités, Cassini, [16 COT 00 B]DACUNHA-CASTELLE, REVUZ et SCHREIBER, Recueil de problèmes de calcul des probabilités, Masson, [16 DAC 00 C]DACUNHA-CASTELLE ET DUFLO, Probabilités et Statistiques, Tome 1: problèmes à temps fixe, Masson, [16 DAC 00 A]OUVRARD, J-Y.  Probabilités 2. Master et agrégation, Cassini. [16 OUV 00A2]

Poly de cours de Benjamin Jourdain