Théorie des probabilités


Objectif

Ce cours met en place les concepts fondamentaux du calcul des probabilités. Il montre comment les outils de la théorie de la mesure, introduits dans le cours « Fondements mathématiques des probabilités», s’adaptent au modèle probabiliste. Il se décompose en trois axes : Les notions de convergences, les lois et espérances conditionnelles et enfin les vecteurs Gaussiens. De nombreux cas concrets illustrent le problème de la modélisation probabiliste.

Acquis de la formation : à l’issue du cours, l’étudiant saura :

– Calculer des lois de probabilité et démontrer l’absolue continuité par rapport à la mesure de Lebesgue
– Enoncer et appliquer les grands théorèmes de convergence de variables aléatoires dans Rd : implication et caractérisation, théorème de Levy, Portmanteau, LGN, TCL…
– Enoncer les définitions et propriétés des lois conditionnelles, savoir appliquer le théorème de Bayes pour les calculer
– Enoncer et démontrer les propriétés et caractérisations de l’espérance conditionnelle dans $L^1$ et $L^2$
– Définir et manipuler les vecteurs gaussiens
– Simuler des variables aléatoires de distribution quelconque en R et calculer numériquement des moments

Mode d'évaluation:

La note finale du cours sera la moyenne de la note de contrôle continu (50%) et de l'examen final (50%). La note de contrôle continue est égale à la moyenne de la note de participation et de la note de mi-parcours. La note de participation est la moyenne de la note de présence et de la note de participation aux TD, laissée à la l'appreciation du chargé de TD.

Plan

– Rappels de théorie de la mesure et de l’intégration – Modèle de l’espace probabilisé ; applications mesurables; Mesure-image et théorème de transfert;  Mesure admettant une densité par rapport à une autre.
– Variables aléatoires : caractérisations, moments et changements de variables – Rappels : Introduction : notion de variable aléatoire; Détermination et caractérisation des lois des variables aléatoires; Etude des moments d’une variable aléatoire; Le problème du changement de variables; Applications diverses
– Fonctions caractéristiques -Définition et premières propriétés des fonctions caractéristiques de variables aléatoires réelles; Propriétés analytiques des fonctions caractéristiques; Théorèmes d’inversion et d’injectivité des fonctions caractéristiques et formules de réciprocité; Fonctions caractéristiques de variables aléatoires à valeurs dans $R$.
– Convergences ponctuelles et fonctionnelle – Convergence presque sûre; Convergence uniforme presque sûre (ou dans $L^{infty}$); Convergence en probabilité (ou stochastique); Convergence dans les espaces $L^p $ . Lois des grands nombres
– Convergence en loi – Définition de la convergence en loi; Critères usuels de convergence en loi; Théorème de Paul LEVY; Propriétés de la convergence en loi ; utilisation de développements limités. 
– Conditionnement et espérance conditionnelle – Conditionnement par un événement dans le cas élémentaire; Lois conditionnelles; Espérance conditionnelle dans $L^2$; Théorie générale de l'espérance conditionnelle.
– Vecteurs Gaussiens : Loi normale, vecteurs Gaussiens dans $R^n$, extension au cas de vecteurs gaussiens dans un espace de dimension finie.  Théorème de Cochrane.

Références

BASS, Eléments de calcul des probabilités, Masson, [16 BAS 00 A]BILINGSLEY, Probability and Measure, second edition, Wiley, [16 BIL 00 B],
COTTREL et Cie, Exercices de probabilités, Cassini, [16 COT 00 B]DACUNHA-CASTELLE, REVUZ et SCHREIBER, Recueil de problèmes de calcul des probabilités, Masson, [16 DAC 00 C]DACUNHA-CASTELLE ET DUFLO, Probabilités et Statistiques, Tome 1: problèmes à temps fixe, Masson, [16 DAC 00 A]OUVRARD, J-Y.  Probabilités 2. Master et agrégation, Cassini. [16 OUV 00A2]

Poly de cours de Benjamin Jourdain