Théorie des probabilités


Objectif

L'objectif de ce cours et de présenter la théorie des probabilités à un public ayant étudié, soit une introduction aux probabilités et à la statistique, soit de l'analyse mathématique (théorie de l'intégration, théorie de la mesure) dans le but d'uniformiser l'approche et les outils à disposition.

La richesse des chapitres abordés ne permet pas de démontrer en détail tous les résultats. Seuls les mécanismes les plus fréquemment utilisés et les preuves les plus abordables seront montrés. Des résultats très théoriques jouxtent ainsi des calculs et des applications très faciles.

Après une introduction aux fondements mathématiques des probabilités et aux variables aléatoires, les convergences de suites de variables aléatoires et les théorèmes asymptotiques constituent le partie principale de ce cours, suivie de la loi et l'espérance conditionnelles.

A l’issue de ce cours, les étudiants doivent être capables de: 

-Manipuler les variables aléatoires uni et multivariées, les vecteurs Gaussiens;

-Connaitre et démontrer des convergences de suites de variables aléatoires

-Employer des théorèmes usuels en probabilités et statistique comme Borel-Cantelli, la LGN,  le TCL et la méthode Delta. 
 

Plan

1. Fondements mathématiques des probabilités

– Espace probabilisé
– Lemme de Borel-Cantelli
– Mesures de probabilités sur R^d, sur des espaces de suites, sur des espaces de fonctions

2. Variables aléatoires

– Variables aléatoires discrètes: lois, moments, fonction génératrice des moments
– Variables aléatoires à densité de probabilité: lois, moments, formule de changement de variable
– Vecteurs Gaussiens
– Variables aléatoires – cas général: rappels de théorie d'intégration, théorème de Radon Nykodim,
     lois, moments, fonction caractéristique, indépendance

3. Convergences des suites de variables aléatoires

– Convergences en probabilité, presque sûre (p.s.), en loi
– Critères de convergence et liens entre les différents types de convergence 
– Caractérisations de la convergence en loi: lemme Porte-Manteau, théorème de continuité de Lévy 
– Conditions nécessaires et suffisantes pour la convergence p.s.

4. Théorèmes asymptotiques

– Lois des grands nombres
– Théorème central limite : cas des v.a. i.i.d. et cas des variables indépendantes
         (conditions de Lindeberg et de Lyapounov)
– Inégalité de Berry-Esseen

5. Loi et espérance conditionnelles

– Conditionnement dans le cas élémentaire : par un événement, par une partition de l'espace, 
        par une sigma-algèbre, v.a. discrètes et à densité de probabilité
– Espérance conditionnelle: définition et propriétés
– Loi conditionnelle: noyau de Markov et condition suffisante d'existence
– Cas des v.a. dans L_2
 

Références

BRIANE, M, PAGÈS, G : Théorie de l'intégration, Cours et exercices ; VUIBERT 2006.

BILINGSLEY, P : Probability and Measure, second edition, Wiley, 

GRIMMETT G et STIRZAKER D : One Thousand Exercices in Probability; Oxford University Press, 2001

JACOD J et PROTTER Ph : L'essentiel en théorie des probabilités, Cassini 2003

OUVRARD, J-Y : Probabilités 2. Master et agrégation, Cassini, 2000.

SHIRYAEV, A N: Probability, Springer