Théorie des probabilités – 2AD


Objectif

L'objectif de ce cours est de présenter la théorie des probabilités à un public ayant étudié, soit une introduction aux probabilités et à la statistique, soit de l'analyse mathématique (théorie de l'intégration, théorie de la mesure) dans le but d'uniformiser l'approche et les outils à disposition.

La richesse des chapitres abordés ne permet pas de démontrer en détail tous les résultats. Seuls les mécanismes les plus fréquemment utilisés et les preuves les plus abordables seront montrés.

Après une introduction aux fondements mathématiques des probabilités et aux variables aléatoires, les convergences de suites de variables aléatoires et les théorèmes asymptotiques constituent le partie principale de ce cours, suivie de la loi et l'espérance conditionnelles.

A l’issue de ce cours, les étudiants doivent être capables de: 

– Manipuler les variables aléatoires uni et multivariées, les vecteurs Gaussiens;

– Connaitre et démontrer des convergences de suites de variables aléatoires

– Employer des théorèmes usuels en probabilités comme le lemme de Borel-Cantelli, la Loi des Grands Nombres et le Théorème Central-Limite.
 

Plan

1. Espaces de probabilité

– Motivation
– Événements, tribus, espaces mesurables
– Mesures de probabilité, espaces de probabilité
– Probabilités discrètes
– Probabilités sur R

2. Variables aléatoires

– Variables aléatoires
– Loi d’une variable aléatoire, lois discrètes et continues
– Espérance d’une variable aléatoire
– Lien loi-espérance
– Moments et inégalités
– Fonction caractéristique
– Tribu engendrée par une variable aléatoire

3. Espaces produits et vecteurs aléatoires

– Espace mesurable produit
– Loi jointe et marginales
– Changement de variables
– Espérance et covariance de vecteurs aléatoires
– Mesure produit

4. Indépendance

– Événements indépendants
– Indépendance de variables aléatoires
– Lemme de Borel-Cantelli
– Somme de variables aléatoires indépendantes, convolution

5. Vecteurs gaussiens

– Définition et propriétés

6. Convergence de suites de variables aléatoires

– Convergence presque sûre
– Convergence dans L^p
– Convergence en loi
– Liens entre les modes de convergence

7. Théorèmes limites

– Loi des grands nombres
– Théorème central limite

8. Conditionnement

– Probabilité conditionnelle d'un événement
– Espérance conditionnelle
– Loi et densité conditionnelles

Références

Ces références complémentaires s'adressent aux étudiants désireux de creuser certains aspects évoqués rapidement dans ce cours de remise à niveau.

BRIANE, M, PAGÈS, G : Théorie de l'intégration, Cours et exercices ; VUIBERT 2006.

LE GALL, J.-F. : Intégration, Probabilités et Processus Aléatoires.
https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~jflegall/IPPA2.pdf

DURRETT, R. : Probability: Theory and Examples.
https://services.math.duke.edu/~rtd/PTE/

BILINGSLEY, P : Probability and Measure, second edition, Wiley,

GRIMMETT G. et STIRZAKER D. : One Thousand Exercices in Probability; Oxford University Press, 2001

JACOD J et PROTTER Ph : L'essentiel en théorie des probabilités, Cassini 2003