Théorie des probabilités


Objectif

Ce cours est destiné à un public d’origines très variées entrant directement en 2ème année et ayant déjà suivi dans leurs études antérieures, mais avec des degrés variables d’approfondissement, des enseignements de théorie des probabilités.

Son objectif est de replacer les concepts et les résultats probabilistes dans un cadre logique général qui fournira aux étudiants les outils nécessaires pour la bonne compréhension des disciplines d’aval : statistique théorique, étude des séries temporelles, processus aléatoires, économétrie, modèles de la finance, théorie des sondages, etc.

Ce cours ne couvre pas tous les développements théoriques mais il doit donner l’occasion aux étudiants d’identifier des points sur lesquels leurs connaissances antérieures sont limitées, quitte à compléter les connaissances rappelées dans le cours oral par la lecture d’ouvrages fondamentaux ou d’approfondissement.

Enfin, il s’attache à montrer que les probabilités ne sont pas conçues comme une application simple de concepts de mathématique formelle pure mais comme un corpus de concepts et de modes de raisonnement autonomes. De nombreux exemples d’application illustrent le problème de la modélisation probabiliste.

Acquis de la formation : à l’issue de la formation, l’étudiant saura
– Calculer des lois de probabilité de variables aléatoires dans des contextes très variés : lois discrètes : continues, transformations  de variables et application à la simulation de variables aléatoires de distribution donnée, sommes, rapports de variables indépendantes, etc.
– Reconnaître et savoir manipuler les vecteurs gaussiens. Connaître les lois dérivées usuelles et leur application à la problématique de certains tests dans le contexte normal.  
– Connaître, différencier et savoir mettre en œuvre les différents critères de convergence selon les différents modes, pour des suites ou séries de variables aléatoires.
– Comprendre l’approche asymptotique, la mise en œuvre des théorèmes « limites », les configurations de déviation, son utilité comme moyen d’approximation dans les cas usuels (grands échantillons, grandes valeurs des paramètres, etc.). Connaître les principes de la simulation pour vérifier empiriquement des propriétés asymptotiques ou l’adéquation à une loi donnée.     
– Comprendre le conditionnement comme une méthode d’approximation optimale d’une variable aléatoire par une autre ou par un événement. Savoir calculer des lois de probabilité conditionnelle et des espérances conditionnelles dans les configurations les plus variées.

Plan

1ère partie

0. Éléments pour une approche épistémologique.
– Modèle de l’espace probabilisé.
– Rappels de la théorie de l’intégration : mesures, applications mesurables, construction de l’intégrale, intégrabilité d’une fonction.
– Mesure admettant une densité par rapport à une autre.
– Mesure-image et théorème de transfert.

1. Variables aléatoires : caractérisations, lois, moments et changements de variables.
– Introduction : rappels sur la notion de variable aléatoire (réelle ou vectorielle).
– Détermination et caractérisation des lois des variables aléatoires dans les cas usuels.
– Étude des moments d’une variable aléatoire.
– Le problème du changement de variables.

2. Étude des lois normales.
– Lois normales sur R.
– Lois usuelles dérivées des lois normales.
– Lois normales sur R  (vecteurs gaussiens).
– Propriétés algébriques et géométriques des lois normales sur R.

2ème partie.

3. Convergences ponctuelles et fonctionnelles.
– Convergence presque sûre.
– Convergence en probabilité (ou stochastique).
– Convergence dans les espaces.

4. Convergence en loi.
– Définition de la convergence en loi.
– Critères usuels de convergence en loi.
– Théorème de Paul LEVY.
– Propriétés de la convergence en loi ; utilisation de développements limités.

5. Théorie asymptotique.
– Lois des grands nombres (faibles et fortes).
– Déviations par rapport à la loi des grands nombres.
– Théorème central limite : version usuelle et extensions diverses.

3ème partie

6. Conditionnement et espérance conditionnelle.
– Conditionnement dans le cas élémentaire : par un événement, pour des variables discrètes, pour des variables à densité.
– Théorie « géométrique » de l’espérance conditionnelle.
– Extension : théorie générale de l’espérance conditionnelle.
– Théorie générale des lois de probabilité conditionnelles.
– Réinterprétation de l’espérance conditionnelle à partir de la loi de probabilité conditionnelle.

Références

BRIANE, M, PAGÈS, G : Théorie de l'intégration, Cours et exercices ; VUIBERT 2006.

BILINGSLEY, P : Probability and Measure, second edition, Wiley, 

GRIMMETT G et STIRZAKER D : One Thousand Exercices in Probability; Oxford University Press, 2001

JACOD J et PROTTER Ph : L'essentiel en théorie des probabilités, Cassini 2003

MONFORT, A : Cours de probabilités ; ECONOMICA, 1996.

OUVRARD, J-Y : Probabilités 2. Master et agrégation, Cassini, 2000.

RUDIN, W : Analyse réelle et complexe ; MASSON, 1995.

SHIRYAEV, A N: Probability, Springer