Simulation et Monte Carlo


Objectif

Le but du cours est d'introduire les concepts essentiels en simulation et méthode de Monte Carlo. Ces concepts seront illustrés notamment par les applications suivantes : pricing en finance, statistique computationnelle, statistique bayésienne et biostatitistique (notamment épidémiologie).

A l'issue de la formation, l'étudiant saura :

– simuler les familles de loi standards, ainsi que des loi non standards en utilisant des principes généraux tels qu'acceptation-rejet
– mettre en oeuvre des méthodes Monte Carlo simples dans plusieurs scénarios tels que pricing d'option européenne (Finance), propagation d'épidémie modélisée par diffusion (bio), ou autre
– comprendre les idées générales du Monte Carlo direct, de l'échantillonnage d'importance, et du quasi Monte Carlo pour savoir lequel utiliser dans un contexte donné.

Mode d'évaluation:

La note finale du cours sera la note de projet, évalué en soutenance par groupe de 3.

 

 

Plan

1. Généralités
   a. Monte Carlo: principe général, théorèmes limites
   b. Applications de Monte Carlo vues en cours.
2. Simulation selon la loi Uniforme: générateurs pseudo-aléatoires.
3. Simulation non-uniforme:
   a. Méthode d'inversion de la fonction de répartition
   b. Méthode de la relation fonctionnelle
   c. Méthode d'acception-rejet
   d. cas des variables discrètes
4. Méthodes de réduction de variance
   a. Variables antithétiques
   b. Variables de contrôle
   c. Stratification
5. Echantillonage d'importance
6. Quasi Monte Carlo
7. Simulation de processus stochastique
  a. Mouvement brownien
  b. Diffusion (schéma d'Euler)
8. Compléments: simulation non IID
 a. Simulation par chaîne de Markov: algorithmes MCMC (introduction au cours de C.P. Robert de 3ème année)  b. Introduction au filtrage particulaire (introduction au cours de N.
Chopin de 3ème année)

 

Références

DEVROYE Luc, Non-Uniform Random Variate Generation, Springer
GLASSERMAN Paul, Monte Carlo Methods in Financial Engineering
LEMIEUX Christiane, Monte Carlo and quasi-Monte Carlo sampling, Springer
ROBERT Christian P., Monte Carlo statistical methods, Springer

 

TUFFIN Bruno, La simulation de Monte Carlo, Hermes Science