Méthodes numériques en ingénierie financière


Objectif

Le cours porte sur les méthodes numériques pour les EDP en finance : méthodes de pricing (calcul numérique des prix et Grecs des produits dérivés) et de calibration de modèles.

Des connaissances en méthodes de simulation sont requises. Il est donc fortement souhaitable d’avoir suivi et validé le cours « Simulation et Monte-Carlo » (2A) ou un cours couvrant un contenu similaire.

Les TDs consisteront essentiellement en des études de cas sous la forme de ‘ipython notebooks‘ adossés à des articles de recherche récents en modélisation financière .Le cours comportera également un exercice de programmation d’une dll à programmer en C++ et interfacer dans VBA.

Plan

Partie I – Revue des modèles 

  1.  Modèle de Black-Scholes, volatilité implicite 
  2.  Modèle de Dupire, volatilité locale et sa calibration  
  3.  Volatilité stochastique (Heston)
  4.  Sauts (modèle de Merton ‘saut à la ruine’ et Merton à sauts gaussiens des rendements)
  5.  Pricing des vanilles par Fourier dans les modèles de diffusion affine à sauts

Partie II – Méthodes de pricing par Monte Carlo

  1.  Principes généraux : estimateur Monte Carlo, intervalle de confiance, graphe de convergence
  2.  Génération aléatoire et quasi-aléatoire
  3.  Réduction de variance
  4.  Quasi-Monte Carlo
  5.  Calcul de Grecs 
  6.  Discrétisation de processus

Partie III – Méthodes de Pricing par Arbres

  1.  Modèles de chaînes de Markov discrètes, programmation dynamique dans les arbres 
  2.  Analyse de convergence : Théorème de Kushner 
  3.  Applications à l’arbre binomial de Cox Ross Rubinstein vs trinomial de Kamrad Ritchken
  4.  Synthèse et comparaison de performances Monte Carlo vs. EDPs et arbres
  5.  Schémas hybrides de type simulation / régression et pricing par Monte Carlo d’options américaines

Partie IV – Méthodes de Pricing par Différences Finies

  1.  Analyse de convergence : Principe d’équivalence de Lax (options européennes) / théorème de Barles et Souganidis (options américaines et autres problèmes non linéaires)
  2.  Localisation et conditions aux bords
  3.  Théta-schémas en dimension un d’espace
  4.  Méthode ADI en dimension supérieure 
  5.  Sauts (équations intégro-différentielles)

 Partie V – Pricing d’options exotiques 

  1.  Options exotiques de première génération : barrières, lookback et asiatiques
  2.  Options exotiques de seconde génération : forward start et cliquets, vol et variance swaps
  3.  Calcul d’ajustements de valorisation : CVA, FVA, KVA

Références

S. CREPEY, Financial Modeling (Springer, 2013), chapters 5 à 9.
+ Articles de recherché qui seront fournis lors des TDs