Méthodes asymptotiques en finance


Objectif

Les méthodes asymptotiques ont acquis depuis plusieurs années un rôle majeur en finance quantitative.  Elles apparaissent comme des méthodes alternatives aux méthodes numériques souvent coûteuses en temps de calcul et répondent au besoin croissant des praticiens de marché d’avoir des formules analytiques fermées, conduisant d’une part à des outils de calcul en temps réel, et d’autre part à une meilleure compréhension  et analyse de sensibilité des modèles financiers. 
L’objectif de ce cours est de présenter un panorama des diverses méthodes asymptotiques (perturbation et homogénisation en EDP, techniques de grandes déviations, etc) utilisées dans les applications en finance pour la valorisation d’options (selon différentes asymptotiques : maturité courte ou longue,  strike grand, variations de volatilité lente/rapide, etc), et dans l’allocation de portefeuille (en présence de petits coûts de transactions, ou de fluctuations lente/rapide de la volatilité). 
 

Plan

Partie 1 : Résultats asymptotiques pour la valorisation  d’options

  1. Strike extrême
  2. Méthode de grandes déviations
    1. Bref rappel sur les résultats de grandes déviations
    2. Echantillonnage préférentiel
    3. Maturité courte
    4. Maturité longue
  3. Développement en bruit petit, perturbation régulière/singulière et applications à la fluctuation lente/rapide de volatilité

Partie 2 : Asymptotique pour l’allocation de portefeuille

  1. Rappel sur le problème de Merton
  2. Fluctuation lente/rapide de volatilité et perturbation singulière
  3. Modèle de Black-Scholes avec coûts de transaction proportionnels et technique d’homogénisation

Références

[1] R. Bompis et E. Gobet : « Asymptotic and non asymptotic approximations for option valuation »,  2012,  In Recent Developments in Computational Finance:Foundations, Algorithms and Applications, Thomas Gerstner and Peter Kloeden (Ed.), World Scientific Publishing Company.
[2] J.P. Fouque, G. Papanicolaou, R. Sircar et K. Solna : Multiscale stochastic volatility for equity, interest rate, and credit derivatives, 2011, 2nd edition, Cambridge university press. 
[3] P. Friz, J. Gatheral, A. Jacquier et  J. Teichmann (editors) : Large deviations and asymptotic methods in finance, 2015,  Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. 
[4] J. Muhle-Karbe, M. Reppen et M. Soner: « A primer on portfolio choice with small transaction costs », 2016, preprint.