Fondements mathématiques des probabilités


Objectif

Ce cours introduit les bases mathématiques de la théorie des probabilités : la théorie de la mesure et celle de l’intégration au sens de Lebesgue.

Acquis de la formation : à l’issue de l'enseignement, l’étudiant saura :

– Enoncer les définitions principales et les propriétés élémentaires de la théorie de la mesure, et des espaces $L^p$
– Appliquer les théorèmes fondamentaux de l’intégration
– Manipuler les intégrales contre des mesures quelconques : changement de mesure, application de Fubini, calcul d’intégrale à paramètres

Mode d'évaluation:

La note finale du cours sera la moyenne de la note de contrôle continu (50%) et de l'examen final (50%). La note de contrôle continue est égale à la moyenne de la note de participation et de la note de mi-parcours. La note de participation est la moyenne de la note de présence et de la note de participation aux TD, laissée à la l'appreciation du chargé de TD.

Plan

THEORIE DE LA MESURE

  1. Tribus et parties d'un ensemble – Définition. Tribu engendrée, tribu image réciproque, produit d’espaces mesurables.
  2. Mesure, espace mesuré – Définitions, propriétés élémentaires, caractérisation d’une mesure finie.
  3. Prolongement d'une mesure et applications – Théorème de prolongement, mesure extérieure, mesure de Borel, ensembles négligeables, tribu et mesure complétée, tribu et mesure de Lebesgue, produit fini d’une famille d’espaces mesurés.
  4. Applications mesurables – Définition, fonctions boréliennes, exemples, propriétés, transport d’une mesure, mesure image, fonctions étagées sur un espace mesurable: définition et théorème d’approximation.
  5. Théorie de la mesure et probabilités

INTEGRATION

  1. Intégration des fonctions mesurables positives – Intégrale d’une fonction étagée, d’une fonction mesurable, propriétés, théorème de la convergence monotone (Beppo-Lévi), lemme de Fatou, mesures à densité, théorème de changement de variable, théorème de Fubini-Tonelli.
  2. Intégration des fonctions quelconques – Intégrale d’une fonction quelconque, espaces $L^p$, propriétés, théorème de la convergence dominée, applications (continuité et dérivation sous le signe somme), théorème de Fubini, convolution
  3. Espérance et moments en probabilités

COMPLEMENTS

  1. Espaces $L^p$ – Définitions, propriétés, inégalités de Holder et Minkowski, dualité.
  2. Transformée de Fourier

Références

BRIANE M et PAGES G. : Théorie de l’intégration, VUIBERT, 1998 [10 BRI 00 A].
GRAMAIN A. : Intégration, HERMANN [16 GRA 00 A].