Calcul stochastique (ENSTA)


Objectif

Le but de ce cours est d’introduire les notions de martingales et d’intégrales stochastiques ainsi que les bases du calcul d’Itô. Ces notions sont à la base de la théorie des mathématiques financières, cependant, aucun problème de finance ne sera abordé ici.

Plan

  1. Généralités sur les processus en temps continu – Régularité des trajectoires, processus Gaussiens, temps d’ arrêt.
  2. Martingales discrètes et continues – Théorèmes limites, théorèmes d’arrêt, inégalités classiques.
  3. Mouvement brownien – Définition et propriétés. Caractérisation en tant que processus Gaussien, notion de variation quadratique, principe de réflexion.
  4. Intégrale de Wiener et d’Ito – Construction des intégrales et propriété, intégrale stochastique par rapport à une martingale, notion de processus d’Ito, formule d’Itô.
  5. Introduction aux équations différentielles stochastiques – Définition, théorèmes d’existence et d’unicité des solutions.
  6. Applications du calcul stochastique – Caractérisation du mouvement Brownien de P. Lévy,  théorème de Girsanov, représentation des martingales Browniennes, formule de Feynman-Kac.
  7. Introduction au contrôle optimal stochastique – Principe de la programmation dynamique. Equation d’Hamilton Jacobi Bellman. Applications en gestion de portefeuille. 

Références

LAMBERTON D. et LAPEYRE B. (1997) : Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, Editions Ellipse.
KARATZAS I. and  SHREVE S.E. (1991) : Brownian motion and stochastic calculus, Springer.
REVUZ D. and YOR M. (1994) : Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer.
ROGERS L.C.G.  and WILLIAMS D. (2000) : Diffusions, Markov processes, and martingales, Cambridge Univ. Press.