Calcul différentiel et intégral


Objectif

L'objectif de ce cours est essentiellement de réviser et d'acquérir des techniques de calcul utilisées dans les enseignements d'économie et de statistique de deuxième année. Plus que dans d'autres cours, on mettra donc l'accent sur les méthodes que sur la théorie.

A l’issue de ce cours, les étudiants doivent être capables de:

  • Connaître et savoir utiliser les notations de Landau.
  • Connaître l’ensemble de définition/dérivabilité, dérivée, propriétés et identités vérifiées par les fonctions trigonométriques : cosinus, sinus, tangente, cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, tangente hyperbolique. 
  • Intégrale de Riemann :
    • Vérifier l’intégrabilité (fonction continue/continue par morceaux sur un intervalle fermé borné) et déterminer la nature (convergente/divergente) d’intégrales généralisées : condition nécessaire de convergence, critères de Riemann, de Cauchy, d’Alembert, comparaison série/intégrale.
    • Connaître et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème fondamental du calcul intégral.
    • Calculer une intégrale de Riemann en utilisant différentes techniques telles que le changement de variables, intégration par parties ou la réduction d'une fraction rationnelle …, intégrales généralisées) et ce en dimension 1 ou 2.
    • Etudier une intégrale dépendant d’un paramètre : continuité et dérivation.
  • Etudier une fonction à plusieurs variables : dérivées partielles, gradient, différentiabilité, convexité, extrema locaux. Connaître et utiliser le théorème des fonctions implicites.
  • Résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 1 avec second membre et une équation linéaire d'ordre supérieur à coefficients constants et avec second membre.

Mode d'évaluation:

La note finale du cours sera la moyenne de la note de contrôle continu (50%) et de l'examen final (50%). La note de contrôle continue est égale à la moyenne de la note de participation et de la note de mi-parcours. La note de participation est la moyenne de la note de présence et de la note de participation aux TD, laissée à la l'appreciation du chargé de TD.

Plan

* séance 1: rappels sur les fonctions usuelles et les développements limités.
* séance 2: construction de l'intégrale de Riemann et intégration par parties.
* séance 3: changements de variables.
* séance 4: intégrales de fractions rationnelles.
* séance 5: intégrales généralisées.
* séance 6: dérivées partielles, gradients.
* séance 7: différentielles.
* séance 8: intégrales doubles et changements de variables.
* séance 9: intégrales doubles généralisées.
* séance 10: fonctions convexes.
* séance 11: fonctions implicites.
* séance 12: équations différentielles du premier ordre.
* séance 13: équations différentielles d'ordre supérieur.
* séance 14: rapide introduction aux séries de Fourier.
* séance 15: révisions.

Références

Cours de calcul différentiel, H. Cartan
Mathématiques de deuxième année MP, cours et exercices, C. Deschamps, A. Warusfel
Cours de Mathématiques, tome2, Analyse, J. Lelong-Ferrand, JM Arnaudiès
Analyse II, calcul différentiel et équations différentielles, L. Schwartz