Analyse


Objectif

Contexte

Il s’agit d’une introduction à la topologie et à l’analyse destinée aux étudiants de l’ENSAE et d’HEC n’ayant pas suivi une classe préparatoire MP. Le niveau de ce cours dépasse néanmoins celui du programme de MP. Il se décompose en quatre chapitres : espaces topologiques et espaces métriques ; régularité des applications d’espaces métriques ; compacité et complétude ; espaces de Hilbert et séries de Fourier.

Plan

A l’issue de ce module, l’apprenant devra être capable de

1)      Définir et démontrer les propriétés élémentaires des espaces topologiques, des espaces métriques et des espaces vectoriels normés. Définir un ouvert et un fermé dans un espace topologique. Définir une boule ouverte et une boule fermée dans un espace métrique.

2)      Comparer deux topologies. Comparer deux distances.

3)      Définir et démontrer les propriétés élémentaires des voisinages dans un espace topologique et dans un espace métrique.

4)      Définir un espace topologique séparé. Démontrer qu’un espace métrique est séparé. Démontrer qu’un sous-ensemble fini d’un espace topologique séparé est fermé.

5)      Définir et démontrer les propriétés élémentaires des suites convergentes d’éléments d’un espace topologique et d’un espace métrique.

6)      Définir et démontrer les propriétés élémentaires de l’intérieur et de l’adhérence d’une partie d’un espace topologique. Démontrer les différentes caractérisations de l’intérieur et de l’adhérence d’une partie d’un espace métrique (boules ; séquentielle ; distance d’un point à une partie).

7)      Démontrer qu’une partie d’un espace topologique simple est ouverte ou fermée.

8)      Définir et démontrer les propriétés élémentaires des suites extraites.

9)      Définir et démontrer les propriétés élémentaires d’une partie dense d’un espace topologique.

10)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires des espaces séparables.

11)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires de la topologie induite par une partie d’un espace topologique. Démontrer que la topologie associée à la distance induite par une partie A d’un espace métrique coincide avec la topologie induite par A.

12)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires de la topologie produit de deux espaces topologiques.

13)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires des applications continues d’espaces topologiques.

14)  Définir et démontrer la caractérisation séquentielle de la limite en un point d’une fonction d’espaces métriques. Démontrer la caractérisation via la limite de la continuité en un point d’une fonction d’espaces métriques.

15)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires des fonctions d’espaces métriques uniformément continues et lipschitziennes.

16)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires de la convergence simple et de la convergence uniforme des suites de fonctions d’espaces métriques.

17)  Démontrer que si elle existe, la limite uniforme d’une suite de fonctions continues en un point est elle-même continue en ce point.

18)  Montrer la convergence simple ou la convergence uniforme d’une suite de fonctions d’une variable réelle.

19)  Démontrer qu’une application linéaire f d’espaces vectoriels est continue si et seulement s’il existe une constante k > 0 telle que la norme de l’image de tout vecteur par f est majorée par k fois la norme de ce vecteur. Définir et démontrer les propriétés élémentaires de la norme d’une application linéaire continue.

20)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires d’une partie quasi-compacte d’un espace topologique. Définir et démontrer les propriétés élémentaires d’une partie compacte d’un espace topologique.

21)  Démontrer le théorème de Bolzano-Weierstrass.

22)  Démontrer que les segments de l’ensemble des réels sont compacts. Démontrer qu’une partie de l’ensemble des réels est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée. Démontrer que toute application continue d’une partie quasi-compacte d’un espace topologique dans l’ensemble des réels est bornée et atteint ses bornes.

23)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires des espaces topologiques localement compacts.

24)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires des suites de Cauchy d’un espace métrique.

25)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires d’un espace métrique complet. Démontrer la complétude d’espaces métriques simples.

26)  Démontrer que tout segment de l’ensemble des réels est complet. Démontrer que l’ensemble des réels muni de sa distance usuelle est complet.

27)  Démontrer que l’espace des fonctions continues d’un espace topologique dans un espace métrique complet, muni de la distance uniforme, est complet.

28)  Démontrer le théorème du point fixe de Picard et ses conséquences. Utiliser le théorème du point fixe de Picard pour démontrer l’existence et l’unicité de la solution d’équations fonctionnelles.

29)  Démontrer le théorème de Heine.

30)  Démontrer que les boules fermées d’un espace vectoriel normé de dimension finie sont compactes. Démontrer que tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet.

31)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires des parties et des fonctions convexes d’espaces vectoriels normés.

32)  Définir un espace pré-hilbertien. Définir et démontrer les propriétés élémentaires de l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel d’un espace pré-hilbertien. Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz et les propriétés élémentaires de la norme associée à un produit scalaire.

33)  Définir un espace de Hilbert.

34)  Démontrer le théorème de projection orthogonale sur une partie convexe et fermée d’un espace de Hilbert. Démontrer les principales propriétés de la projection orthogonale sur une partie convexe et fermée d’un espace de Hilbert.

35)  Démontrer le théorème de représentation de Riesz.

36)  Définir une base hilbertienne. Démontrer les différentes caractérisations d’une base hilbertienne.

37)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires de la convergence simple, de la convergence uniforme et de la convergence normale d’une série de fonctions d’espaces métriques.

38)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires des coefficients de Fourier exponentiels et trigonométriques d’une fonction périodique et de carré intégrable.

39)  Enoncer le théorème de Dirichlet. Démontrer l’égalité de Parseval.

40)  Développer en série de Fourier des fonctions périodiques simples. Utiliser le théorème de Dirichlet et l’égalité de Parseval pour calculer des sommes de séries numériques.

 

Evaluation

–          1 examen écrit de mi-parcours. Il portera sur les acquis d’apprentissage visés 1) à 19).

–          1 examen écrit final. Il portera sur les acquis d’apprentissage visés 20) à 40).

Mode d'évaluation:

La note finale du cours sera la moyenne de la note de contrôle continu (50%) et de l'examen final (50%). La note de contrôle continue est égale à la moyenne de la note de participation et de la note de mi-parcours. La note de participation est la moyenne de la note de présence et de la note de participation aux TD, laissée à la l'appreciation du chargé de TD.

Pour les acquis d’apprentissage visés concernés, chaque examen comprendra :

–          1 question de cours.

–          1 variante d’un exercice proposé en TD.

–          1 problème inédit.

 

Références

[1] D. Guinin et B. Joppin. Analyse MP. Bréal, 2004.

[2] F. Liret et D. Martinet. Analyse 2e année. Dunod, 2004.

[3] H. Queffélec. Topologie. Dunod, 2006.

[4] L. Schwarz. Analyse I. Théorie des ensembles et topologie. Hermann, 1997.

[5] G. Skandalis. Topologie et analyse. Dunod, 2004.