ENSAE Paris - École d’ingénieurs pour l’économie, la data science, la finance et l’actuariat

Stochastic Calculus (ENSTA)

Objectif

Le but de ce cours est d'introduire les notions de martingales et d'intégrales stochastiques ainsi que les bases du calcul d'Itô. Ces notions sont à la base de la théorie des mathématiques financières, cependant, aucun problème de finance ne sera abordé ici.

 

Ce cours a lieu à l'ENSTA.

Plan

  1. Généralités sur les processus en temps continu - Régularité des trajectoires, processus Gaussiens, temps d’ arrêt.
  2. Martingales discrètes et continues - Théorèmes limites, théorèmes d'arrêt, inégalités classiques.
  3. Mouvement brownien - Définition et propriétés. Caractérisation en tant que processus Gaussien, notion de variation quadratique, principe de réflexion.
  4. Intégrale de Wiener et d'Ito - Construction des intégrales et propriété, intégrale stochastique par rapport à une martingale, notion de processus d’Ito, formule d'Itô.
  5. Introduction aux équations différentielles stochastiques - Définition, théorèmes d'existence et d'unicité des solutions.
  6. Applications du calcul stochastique - Caractérisation du mouvement Brownien de P. Lévy,  théorème de Girsanov, représentation des martingales Browniennes, formule de Feynman-Kac.
  7. Introduction au contrôle optimal stochastique - Principe de la programmation dynamique. Equation d'Hamilton Jacobi Bellman. Applications en gestion de portefeuille.