Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue

Objectif

Ce cours introduit les bases mathématiques de la théorie des probabilités : la théorie de la mesure et celle de l’intégration au sens de Lebesgue.

Acquis de la formation : à l’issue de l'enseignement, l’étudiant saura :

- Enoncer les définitions principales et les propriétés élémentaires de la théorie de la mesure, et des espaces L^p
- Appliquer les théorèmes fondamentaux de l’intégration
- Manipuler les intégrales contre des mesures quelconques : changement de mesure, application de Fubini, calcul d’intégrale à paramètres

Modalités d'évaluation :

La note finale du cours sera la moyenne de la note de contrôle continu (50%) et de l'examen final écrit (50%).

La note de contrôle continu (CC) est composée de trois éléments, notés chacun sur vingt points : (i) la note de mi-parcours, (ii) la note de présence en TD, lesquels sont obligatoires, (iii) la note de participation en TD. Elle est calculée ainsi : 50% de la note de mi-parcours + 25% de la note de présence + 25% du maximum entre la note de participation et la note de mi-parcours.

La note de présence, aussi appelée note d’assiduité, est calculée selon la grille disponible sur l’Intranet de l'école.

Plan

THEORIE DE LA MESURE

1. Mesure de Lebesgue - Définition. Mesure extérieure, ensembles Lebesgue-mesurables.
2. Espaces mesurés - Tribu, mesures, fonctions mesurables.
3. Intégration par rapport à une mesure - Définitions. Théorème de convergence monotone, théorème de convergence dominée, lemme de Fatou, intégrales à paramètres, changement de variables
4. Espaces Lp - Définitions, inégalités de Hölder et de Cauchy-Schwartz, complétude
5. Mesures produits - Définitions, théorème de Fubini
6. Théorème de Radon-Nikodym

Références

LE GALL J.-F. : Partie I, Intégration, Probabilités et Processus Aléatoires https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~jean-francois.le-gall/IPPA2.pdf

TAO T. : An introduction to measure theory https://www.stat.rice.edu/~dobelman/courses/texts/qualify/Measure.Theory.Tao.pdf

STEIN E. et SAKARCHI R. : Real Analysis : Measure theory, Integration, and Hilbert spaces https://www.cmat.edu.uy/~mordecki/courses/medida2013/book.pdf