Analyse

Objectif

Contexte

Ce cours est une introduction à la topologie et à l’analyse destinée aux étudiants de l’ENSAE et d’HEC n’ayant pas suivi une classe préparatoire MP. Le niveau de ce cours dépasse néanmoins celui du programme de MP. Il se décompose en quatre grandes partie : Topologie ; continuité ; Complétude et compacité ; Espaces préhilbertiens.

Plan

I. TOPOLOGIE

1 Topologie dans les espaces métriques 

• 1.1 Distances, espaces métriques
• 1.2 Ouverts d’un espace métrique
• 1.3 Topologies, espaces topologiques généraux 
• 1.4 Voisinage d’un point dans un espace métrique
• 1.5 Espace séparé
• 1.6 Fermés
• 1.7 Intérieur, adhérence
• 1.8 Parties denses
• 1.9 Espaces vectoriels normés

2 Suites

• 2.1 Suites convergentes
• 2.2 Suites extraites
• 2.3 Caractérisation des ensembles à l’aide des suites dans un espace métrique
• 2.4 Distance à un sous espace
• 2.5 Comparaison des topologies sur un même espace

3 Construction des espaces topologiques

• 3.1 Topologie induite
• 3.2 Produit d’espaces

II. CONTINUITE

4 Définition et caractérisation

• 4.1 Définition et exemples
• 4.2 Caractérisation
• 4.3 Applications linéaires continues

5 Opérations de fonctions continues

• 5.1 Opérations usuelles
• 5.2 Suite de fonction
•  

III. COMPLETUDE ET COMPACITE

6 Suites de Cauchy et Espace complet

• 6.1 Suite de Cauchy et complétude
• 6.2 Relation entre complétude et fermeture

7 Exemples

• 7.1 Exemples classiques
• 7.2 Théorème du point fixe
• 7.3 Séries

8 Compacité

• 8.1 Notion de compacité
• 8.2 Caractérisation de la compacité pour les espaces métriques
• 8.3 Fonctions continues sur un compact
• 8.4 Exemples d’espaces compacts
• 8.5 Compléments
•  

IV. ESPACE PREHILBERTIEN

9 Définition 

• 9.1 Produit scalaire sur un espace vectoriel réel
• 9.2 Produit scalaire sur un espace vectoriel complexe

10 Orthogonalité

• 10.1 Définition et exemple d’utilisation
• 10.2 Procédé d’orthonormalisation de Schmidt
• 10.3 Base orthonormale d’un sous-espace vectoriel de dimension finie

11 Projection orthogonale

• 11.1 Orthogonal d’une partie
• 11.2 Supplémentaires orthogonaux, projecteurs orthogonaux
• 11.3 Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
• 11.4 Distance d’un vecteur à un sous-espace de dimension finie
• 11.5 Inégalité de Bessel
• 11.6 Séries de Fourier

12 Espaces de Hilbert

• 12.1 Définition et premiers résultats
• 12.2 Projection sur un convexe fermé
• 12.3 Orthogonalité dans les espaces de Hilbert
• 12.4 Bases hilbertiennes

13 Série de fonctions

• 13.1 Mode de convergences
• 13.2 Série de Fourier

Références

[1] D. Guinin et B. Joppin. Analyse MP. Bréal, 2004.

[2] F. Liret et D. Martinet. Analyse 2e année. Dunod, 2004.

[3] H. Queffélec. Topologie. Dunod, 2006.

[4] L. Schwarz. Analyse I. Théorie des ensembles et topologie. Hermann, 1997.

[5] G. Skandalis. Topologie et analyse 3e année. Dunod, 2004.