Mathématiques de l'assurance dommages : théorie et pratique

Objectif

Ce cours présente les principales méthodes de tarification et de provisionnement en assurance non-vie. La première partie est consacrée à la tarification a priori à l’aide des modèles linéaires généralisés (MLG), en intégrant la modélisation de la fréquence et du coût des sinistres, l’exposition au risque et la pénalisation. La tarification a posteriori est ensuite abordée à travers les approches bayésiennes et la théorie de la crédibilité, afin d’intégrer l’historique de sinistralité de l’assuré. La seconde partie porte sur l’évaluation des provisions à partir des triangles de liquidation, avec les modèles de Mack Chain-Ladder et de Schnieper. Une attention particulière est accordée à la mesure de l’erreur de prédiction, aux méthodes de bootstrap et à la prise en compte de l’inflation. Des exemples et des implémentations en R illustrent les méthodes tout au long du cours.

Principaux acquis de la formation : à l’issue du cours, l’étudiant saura

• Construire une tarification a priori à l’aide des MLG, en tenant compte de l’exposition au risque et de la dispersion des données.
• Ajuster une prime à partir de l’historique de sinistralité grâce aux méthodes bayésiennes et de crédibilité.
• Estimer les provisions avec les modèles de Mack Chain-Ladder et de Schnieper, en comprendre les hypothèses et les limites.
• Évaluer l’incertitude de provisionnement à l’aide des erreurs de prédiction et des méthodes de bootstrap.
• Intégrer des hypothèses d’inflation dans la projection des paiements futurs.

Plan

Introduction

I  Tarification
     1  Modèles Linéaires Généralisés
          1.1  Estimation par maximum de vraisemblance
          1.2  Estimation de la dispersion
          1.3  Estimation par maximum de vraisemblance pénalisé
          1.4  Prise en compte de l'exposition
               1.4.1  Loi de Poisson
               1.4.2  Loi binomiale négative
          1.5  La prime pure
          1.6  Exemple
     2  Tarification a posteriori
          2.1  Prime Bayésienne
          2.2  Exemple
          2.3  Crédibilité non paramétrique

II  Sinistres tardifs
     3  Les triangles de liquidation
          3.1  L'exposition
          3.2  Risque de provisionnement
          3.3  Risque de prime
     4  Modèle de Mack chain-ladder
          4.1  Hypothèses
          4.2  Propriétés
          4.3  Estimation des provisions
          4.4  Mesure de l'erreur sur l'estimation des provisions
          4.5  Exemple
     5  Modèle de Schnieper
          5.1  Hypothèses
          5.2  Estimation des provisions
          5.3  Mesure de l'erreur
          5.4  Exemple
          5.5  Le cas particulier du nombre de sinistres au-dessus d'un seuil
          5.6  Exemple
     6  Méthode du bootstrap
          6.1  Bootstrap non paramétrique
          6.2  Bootstrap paramétrique
          6.3  Modèle de Mack
               6.3.1  Bootstrap non paramétrique
               6.3.2  Bootstrap paramétrique gaussien
          6.4  Modèle de Schnieper
               6.4.1  Bootstrap non paramétrique
               6.4.2  Bootstrap paramétrique pour le nombre de sinistres au-dessus d'un seuil
          6.5  Exemples
               6.5.1  Modèle de Mack chain-ladder
               6.5.2  Modèle de Schnieper
     7  Prise en compte de l'inflation

Références

Charpentier, A. (2014). Computational Actuarial Science, with R. CRC Press.
Denuit, M. & Charpentier, A. (2004). Mathématiques de l'assurance non-vie, tome 1: principes fondamentaux de théorie du risque. Economica. [36 DEN 00 A]
Denuit, M. & Charpentier, A. (2005). Mathématiques de l'assurance non-vie, tome 2: tarification et provisionnement. Economica [36 DEN 00 B]
de Jong, P. & Heller, G.Z. (2008). Generalized linear models for insurance data. Cambridge University Press.
Wüthrich, M. & Merz, M. (2008) Stochastic Claims Reserving Methods in Insurance. Wiley.