Algèbre

Objectif

On présente les notions fondamentales d'algèbre linéaire et bilinéaire en insistant sur les notions nouvelles. L'accent est particulièrement mis sur la réduction des matrices, en particulier dans le cas symétrique réel. On souligne enfin l'importance de la notion de projection orthogonale et de ses applications.

Acquis de la formation : à l’issue du cours, l’étudiant saura 

- Appliquer les techniques du calcul matriciel : changement de base, inversion, déterminant, réduction de matrice, résolution de systèmes linéaires
- Démontrer et utiliser les propriétés caractéristiques des espaces euclidiens
- Enoncer et appliquer les propriétés des projections orthogonales

Modalités d'évaluation :

La note finale du cours sera la moyenne de la note de contrôle continu (50%) et de l'examen final écrit (50%).

La note de contrôle continu (CC) est composée de trois éléments, notés chacun sur vingt points : (i) la note de mi-parcours, (ii) la note de présence en TD, lesquels sont obligatoires, (iii) la note de participation en TD. Elle est calculée ainsi : 50% de la note de mi-parcours + 25% de la note de présence + 25% du maximum entre la note de participation et la note de mi-parcours.

La note de présence, aussi appelée note d’assiduité, est calculée selon la grille disponible sur l’Intranet de l'école.

Plan

- Espaces vectoriels - Espaces vectoriels. Sous espaces vectoriels. Familles libres, génératrices, bases et dimension. Noyau, image et rang d'une application linéaire. Sommes directes de sous espaces vectoriels et projecteurs associés.
- Matrices - Matrice d'un endomorphisme dans une base donnée. Changements de bases. Calcul matriciel.. Matrices équivalentes, semblables, caractérisations.
- Déterminant - Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée, d'un endomorphisme, d'une matrice carrée. Méthodes de calcul. Inversion d'une matrice carrée par la méthode des cofacteurs
- Inverses - Utilisation des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes pour calculer le rang ou inverser une matrice et pour résoudre un sytème linéaire.
- Réduction des endomorphismes - Diagonalisation des endomorphismes et des matrices carrées. Valeurs propres et vecteurs propres, polynôme caractéristique. Caractérisations des endomorphismes diagonalisables. théorème spectral.
- Applications de la réduction - Application de la réduction des matrices carrées au calcul des puissances, à la résolution d'une équation ou d'un système récurrents ou différentiels linéaires.
- Formes quadratiques - Définitions, orthogonalité, matrice associée dans une base donnée. Changement de base. Matrices congruentes. Réduction de Gauss. Application à la recherche d'une base orthogonale et de la signature d'une forme quadratique.
- Espaces Euclidiens - Définitions, exemples. Orthogonalisation de Schmidt. Matrices orthogonales, propriétés. Réduction des matrices orthogonales. Projection orthogonale sur un sous espace vectoriel. Calcul de la distance à un sous espace vectoriel. Différentes expressions. Applications.
- Matrices symétriques réelles - Matrices symétriques réelles. Endomorphismes symétriques. Diagonalisation d'une matrice symétrique réelle dans une base orthonormée. Réductions simultanées.