Analyse fonctionnelle et convexe


Objectif

Contexte

Ce module a pour but de renforcer les connaissances des étudiants ayant suivi une classe préparatoire MP en topologie, puis de démontrer et appliquer les théorèmes fondamentaux d’analyse fonctionnelle. Il se décompose en trois chapitres : espaces topologiques et espaces métriques ; compacité, complétude et espaces de Hilbert ; théorèmes fondamentaux d’analyse fonctionnelle.

Mode d'évaluation:

La note finale du cours sera la moyenne de la note de contrôle continu (50%) et de l'examen final (50%). La note de contrôle continue est égale à la moyenne de la note de participation et de la note de mi-parcours. La note de participation est la moyenne de la note de présence et de la note de participation aux TD, laissée à la l'appreciation du chargé de TD.

Plan

  1. Acquis d’apprentissage visés

    A l’issue de ce module, l’apprenant devra être capable de

    1)      Définir et démontrer les propriétés élémentaires des espaces topologiques et des espaces métriques. Définir un ouvert et un fermé dans un espace topologique. Définir une boule ouverte et une boule fermée dans un espace métrique.

    2)      Comparer deux topologies. Comparer deux distances.

    3)      Définir et démontrer les propriétés élémentaires des voisinages dans un espace topologique et dans un espace métrique.

    4)      Définir un espace topologique séparé. Démontrer qu’un espace métrique est séparé. Démontrer qu’un sous-ensemble fini d’un espace topologique séparé est fermé.

    5)      Adapter les démonstrations vues en classe préparatoire MP des propriétés des suites convergentes d’éléments d’espaces vectoriels normés aux espaces topologiques et aux espaces métriques.

    6)      Définir et démontrer les propriétés élémentaires de l’intérieur et de l’adhérence d’une partie d’un espace topologique. Démontrer les différentes caractérisations de l’intérieur et de l’adhérence d’une partie d’un espace métrique (boules ; séquentielle ; distance d’un point à une partie).

    7)      Démontrer qu’une partie d’un espace topologique simple est ouverte ou fermée.

    8)      Adapter les démonstrations vues en classe préparatoire MP des propriétés des parties denses d’espaces vectoriels normés aux espaces topologiques et aux espaces métriques.

    9)      Définir et démontrer les propriétés élémentaires des espaces séparables.

    10)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires de la topologie induite par une partie d’un espace topologique. Démontrer que la topologie associée à la distance induite par une partie A d’un espace métrique coincide avec la topologie induite par A.

    11)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires de la topologie produit de deux espaces topologiques.

    12)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires des applications continues d’espaces topologiques.

    13)  Adapter les démonstrations vues en classe préparatoire MP des propriétés des applications continues, uniformément continues et lipschitziennes d’espaces vectoriels normés aux espaces métriques.

    14)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires d’une partie quasi-compacte d’un espace topologique. Définir et démontrer les propriétés élémentaires d’une partie compacte d’un espace topologique.

    15)  Démontrer le théorème de Bolzano-Weierstrass.

    16)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires des espaces topologiques localement compacts.

    17)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires des suites de Cauchy d’un espace métrique.

    18)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires d’un espace métrique complet. Démontrer la complétude d’espaces métriques simples.

    19)  Démontrer que tout segment de l’ensemble des réels est complet. Démontrer que l’ensemble des réels muni de sa distance usuelle est complet.

    20)  Démontrer que l’espace des fonctions continues d’un espace topologique dans un espace métrique complet, muni de la distance uniforme, est complet.

    21)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires des parties et des fonctions convexes d’espaces vectoriels normés.

    22)  Définir un espace de Hilbert.

    23)  Démontrer le théorème de projection orthogonale sur une partie convexe et fermée d’un espace de Hilbert. Démontrer les principales propriétés de la projection orthogonale sur une partie convexe et fermée d’un espace de Hilbert.

    24)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires du cone normal et du cone tangent en un point d’une partie convexe d’un espace de Hilbert.

    25)  Démontrer le théorème de représentation de Riesz.

    26)  Définir une base hilbertienne. Démontrer les différentes caractérisations d’une base hilbertienne.

    27)  Démontrer le théorème du point fixe de Picard et ses conséquences. Utiliser le théorème du point fixe de Picard pour démontrer l’existence et l’unicité de la solution d’équations fonctionnelles.

    28)  Enoncer les théorèmes de point fixe de Brouwer, Schauder et Kakutani.

    29)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires du dual topologique d’un espace vectoriel normé et de la transposée topologique d’une application d’espaces vectoriels normés.

    30)  Démontrer le théorème de Hahn-Banach et ses conséquences.

    31)  Démontrer le théorème de Baire.

    32)  Démontrer les théorèmes de l’application ouverte, du graphe fermé et de Banach-Steinhaus.

    33)  Définir et démontrer les propriétés élémentaires des parties équicontinues de l’ensemble des applications d’un espace topologique dans un espace métrique.

    34)  Démontrer le théorème d’Arzela-Ascoli et ses conséquences.

    35)  Démontrer le théorème de Stone-Weierstrass dans le cas réel.

    Evaluation

    –          1 examen écrit de mi-parcours. Il portera sur les acquis d’apprentissage visés 1) à 20).

    –          1 examen écrit final. Il portera sur les acquis d’apprentissage visés 21) à 35).

    Pour les acquis d’apprentissage visés concernés, chaque examen comprendra :

    –          1 question de cours.

    –          1 variante d’un exercice proposé en TD.

    –          1 problème inédit.

Références

[1] J.B. Hiriart-Urruty et C. Lemaréchal. Fundamentals of Convex Analysis. Springer, 2001.

[2] F. Hirsch et G. Lacombe. Eléments d’analyse fonctionnelle. Dunod, 1997.

[3] H. Queffélec. Topologie. Dunod, 2006.

[4] L. Schwarz. Analyse I. Théorie des ensembles et topologie. Hermann, 1997.

[5] G. Skandalis. Topologie et analyse. Dunod, 2004.

[6] M. Willem. Analyse fonctionnelle élémentaire. Cassini, 2003.