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Cours : 20 heures - TP : 10 heures Objectif
Ce cours approfondit le cours de statistique 1. En premier lieu, de nouveaux modèles (linéaire généralisé par exemple) et méthodes d’estimation générales (M-estimation, méthode des moments) sont introduits. Les propriétés asymptotiques des estimateurs correspondant sont étudiées en détail. Le cours pose également les fondements de la théorie des tests et aborde les propriétés des tests d’adéquation. Quelques tests non paramétriques sont également présentés. Enfin, le cours revient sur la construction d’intervalles de confiance. Sans s’astreindre à une formalisation pesante et d’ailleurs vaine, mais sans faire de compromis sur la rigueur conceptuelle, le cours cherche à dégager quelques idées forces, aussi bien statistiques que mathématiques. Ces idées sont illustrées par des exemples et des exercices d’application.
Plan
- Objectifs et méthodes en estimation - Rappels sur l'efficacité et l'optimalité, contre-exemple de Stein. Méthodes générales d'estimation : minimum de contraste (estimateurs par maximum de vraisemblance et des moindres carrés), méthode des moments. Modèles linéaires généralisés. Questions algorithmiques.
- Asymptotique en estimation - M estimateurs : convergence, normalité asymptotique.
- Tests - Fondements. Lemme de Neyman-Pearson. Rapport de vraisemblance monotone. Tests UPP, sans biais et semblable.
- Tests d’adéquation - Problématique des tests d’adéquation. Test du chi-deux et mesure empirique. Modifications résultant de l’emploi de l’estimateur du maximum de vraisemblance. Principe des tests d’adéquation s’appuyant sur la fonction de répartition empirique (Kolmogorov-Smirnov et Cramér-von Mises).
- Tests non paramétriques - Comparaison d’échantillons : tests de permutation, tests de rang et de signe.
- Intervalles et régions de confiance. Critères de taille, asymptotique ou de dualité avec un test. Exemple d’un intervalle de confiance semi paramétrique.
Références
Bickel P., K. Doksum (2001) Mathematical statistics. Basic Ideas and selected topics, vol I. Prentice Hall [21 BIC 00 B]
Billingsley P. (1968) Convergence of probability measures, J. Wiley [16 BIL 00 A]
Cox D. R. et D. V. Hinkley (1974). Theoretical statistics. Chapman & Hall [21 COX 00 B]
Dacunha-Castelle D. et M. Duflo (1982). Probabilités et statistiques (2 volumes). Masson [16 DAC 00 A ; 16 DAC 00 D]
D’agostino, R.B. et M.A. Stephens (1986) Goodness-of-fit techniques, Statistics, text books and monographs 68, Marcel Dekker. [22 AGO 00 A]
Ferguson (1967) Mathematical Statistics. A decision theoretic approach, Academic Press [21 FER 01 A]
Ulmo, J. et J. Bernier (1973) Eléments de décision statistique, PUF [21 BER 00 A]
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