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Cours : 18 heures - TP : 10 heures Objectif
Ce cours constitue une introduction aux processus stochastiques. Un processus est une famille de variables aléatoires dépendantes indexée par un ensemble (N, Z, [0,T], R, [0,T]x[a,b]...). Nous considérons dans un premier temps deux classes de processus à temps discret : les martingales et les chaînes de Markov.
La notion de martingale vient de l'étude des jeux de casino, elle est aujourd'hui fondamentale en finance mathématique. Il s'agit d'un outil d'analyse très puissant. Les techniques de martingales permettent notamment de prouver plus simplement la loi forte des grands nombres ou de construire l'intégrale stochastique.
Une chaîne de Markov est un modèle dynamique (aisément simulable) qui lie le présent d’une (de) variable(s) à son (leur) passé proche. Les chaînes de Markov apparaissent quant à elles naturellement lorsque l'on fait de la modélisation et que l'on cherche à modéliser de manière simple la dépendance temporelle. Il existe de très nombreux modèles en statistiques, finance, physique, biologie (dans l’étude de la dynamique de population, génétique) et économie. Les modèles autorégressifs étudiés en séries temporelles en sont un exemple linéaire simple .
Du fait de leur flexibilité, elles sont également devenues un outil très performant de simulation (méthode MCMC : Monte Carlo Markov Chain). Nous étudierons plus précisément le comportement des chaînes de Markov à état fini ou dénombrables : les propriétés de communication, l’existence de loi stationnaire (théorème ergodique). Le cas continu permettra d’introduire des outils puissants de renouvellement et d’extension de Nummelin. Des application à la simulations de loi (algorithme MCMC) et aux algorithmes d’optimisation stochastique (algorithme de recuit simulé, Robbins-Monro) seront abordées en cours et TD.
Enfin nous introduirons deux processus à temps continu: le processus de Poisson et le mouvement Brownien. Le processus de Poisson intervient notamment dans les problèmes de files d'attente, fiabilité, risque de crédit. Le mouvement Brownien a lui un rôle central équivalent à celui de la Gaussienne en dimension finie. La trajectoire Brownienne a été décrit pour la première fois par un botaniste et apparait aujourd'hui de manière fondamentale en statistique, physique, finance...
Plan
- Notions de bases, exemples - Processus, filtrations, temps d’arrêt, définitions, exemples, théorème de Kolmogorov.
- Martingales à temps discrets - Martingales, sur martingales (indexées par N). Inégalités de Doob, théorème d'arrêt. Théorème de convergence presque sûre, convergence dans L1 et équi-intégrabilité, convergence dans Lp. Applications: loi du 0-1, loi forte des grands nombres, convergence des U-statistiques, convergence du test du rapport de vraisemblance, filtrage...
- Chaînes de Markov à états discrets - Chaîne de Markov à espace d’états fini et dénombrable. Propriété de Markov forte. Récurrence et transience. Probabilité/mesure invariante. Théorèmes limites. Applications aux algorithmes d’optimisation stochastiques.
- Chaînes de Markov à états généraux - Propriétés de Markov forte, notions d’atome et de petit ensemble, extension de Nummelin, théorèmes limites ergodique et théorème central limite, applications : simulation de loi (MCMC) / recuit simulé.
- Notions sur les processus de Poisson, de Wiener, et processus Gaussiens
Références
BREMAUD P. (1999). Markov Chains, Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues, Springer. [21 BRE 00 A]
GRIMMET G. et STIRZAKER D. (2001). Probability and Random Processes, Oxford University Press. [16 GRI 00 B]
MEYN S.P et TWEEDIE R.L (1993). Markov Chains and Stochastic Stability, Springer Verlag. [17 MEY 01 A]
NEVEU J. (1972). Martingales à Temps Discret, Masson. [17 NEV 00 B]
NORRIS J.R. (2004). Markov Chains, Cambridge Series in Statistics and Probability. [17 NOR 01 A]
WILLIAMS D. (1997). Probability with Martingales, Cambridge University Press. [16 WIL 00 A]
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