- Philippe Bich - Université Paris 1
Cours : 34 heures - TP : 28 heures Objectif
Ce cours a deux objectifs :
- Enseigner aux étudiants de première année des parties essentielles de la topologie, d'analyse convexe et non linéaire (théorèmes de point fixe) afin de les préparer aux enseignements ultérieurs.
- Approfondir l'étude de certains espaces fonctionnels ($L^p$, Sobolev) utiles en mathématiques appliquées.
Plan
- Compléments de topologie - Espaces métriques, compacts et localement compacts, espaces métriques complets, prolongement des fonctions continues et applications, théorème de point fixe de Banach, le théorème de Baire et ses applications, espaces connexes.
- Espaces fonctionnels - Le théorème de Stone-Weierstrass, le théorème d'Ascoli.
- Espaces vectoriels normés - Applications linéaires et multilinéaires continues, dual topologique d'un espace normé, topologie forte, le théorème de Hahn-Banach, le bidual d'un espace normé, réflexivité.
- Espaces de Banach - Le théorème de Banach-Steinhaus, les théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé.
- Convexité - Ensembles convexes, enveloppe convexe, cones, propriétés topologiques des ensembles convexes, les fonctions convexes (concaves) et leurs propriétés topologiques, les théorèmes de séparation, polarité et orthogonalité, le lemme de Farkas, les fonctions quasi-convexes (quasi-concaves)
- Espaces de Hilbert réels - Projecteur de meilleure approximation, projecteurs coniques et linéaires, la dualité dans les espaces de Hilbert et l'adjoint d'un opérateur continu.
- Théorèmes du point fixe - Le théorème de point fixe de Brouwer, extension dans les espaces de Hilbert, notions sur les correspondances, le théorème de Kakutani, extension dans les espaces de Banach, le lemme de Debreu-Gale-Nikaïdo
- Analyse fonctionnelle - Espaces $L^p$, Sobolev, ondelettes et applications
Références
BERGE C. : Espaces topologiques : fonctions multivoques, DUNOD, Paris 1966 [10 BER 00 A]
BREZIS H : Analyse fonctionnelle : théorie et applications, MASSON, Paris 1983 [10 BRE 00 A]
FLORENZANO M : L’ équilibre économique général transitif et intransitif ; problèmes d’existence, CNRS, Paris 1981 [28 FLO 01 A]
MOULIN H., FOGELMAN F. : La convexiteconvexité dans les mathématiques de la décision, HERMANN, Paris 1979 [15 MOU 00 B]
SCHWARTZ L. : Analyse I : théories des ensembles et topologie, HERMANN, Paris 1991 [10 SCH 00 F]
|
