- Mourad Besbes - Université de Versailles
Cours : 34 heures - TP : 26 heures Objectif
Ce cours introduit des notions de topologie sous une forme analytique : espaces métriques, compacité, espaces vectoriels normés espaces de Banach, ainsi que des notions de géométrie : convexité et espaces de Hilbert, avec notamment l'énoncé et la démonstration des théorèmes de projection. Un chapitre porte également sur les suites et séries de fonctions. Ce cours apporte les bases indispensables au calcul différentiel, à l’optimisation et à la théorie de l’intégration notamment.
Plan
- Espaces Metriques - Généralités, topologie d’un espace métrique, limites et continuité
- Espaces vectoriels normés - Généralités, exemples, applications linéaires continues, continuité des opérations.
- Convexité - Variétés affines, ensembles convexes, fonctions convexes.
- Compacité - Généralités, utilisation des suites, espaces vectoriels normés de dimension finie, convexité et compacité.
- Espaces de Banach - Espaces complets, exemples d’espaces de Banach, séries dans un espace de Banach, algèbres de Banach.
- Suites et séries de fonctions - Limite simple d’une suite ou d’une série, convergence uniforme, séries entières.
- Espaces de Hilbert - Définitions, projections orthogonales, dualité dans les espaces de Hilbert, séparation de parties convexes, familles orthonormées, séries de Fourier.
Références
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