- Romuald Elie - ENSAE-CREST et Université Paris Dauphine
Cours : 24 heures - TP : 10 heures
Objectif
L’objectif de ce cours est de présenter les concepts mathématiques utilisés pour la modélisation et la valorisation des produits dérivés en finance. La présentation du cours sera mathématiquement rigoureuse, mais certains résultats de calcul stochastique seront admis, pour être démontrés plus tard dans le cours de calcul stochastique de 3ème année. Après l’obtention d’une définition mathématique de la notion d’arbitrage sur un marché financier, nous étudierons les modèles discrets par arbre d’évolution d’actif, qui donnent de bonnes intuitions pour l’études des modèles en temps continus. A l’aide de la théorie du calcul stochastique, nous présenterons enfin la valorisation d’actifs dans le cadre du modèle de Black & Scholes. Il est conseillé de suivre le cours d' Introduction aux processus pour mieux assimiler les notions de calcul stochastique et de suivre en parallèle le cours de simulation.
Plan
- Evaluation dans les marché financiers - Portefeuille autofinançant. Absence d’opportunité d’arbitrage. Probabilité risque neutre.
- Pricing par arbre - Arbre binomial et multinomial. Construction de la probabilité risque neutre.
- Calcul stochastique - Mouvement Brownien. Filtration, martingale. Intégrale stochastique par rapport au mouvement Brownien. Formule d’Ito. Equation Différentielle Stochastique.
- Modèle de Black & Scholes - Valorisation d’options : formule de Black & Scholes ; pricing par EDP : formule de Fenman-Kac ; Portefeuilles de couverture et sensibilités (Les Grecques).
- Calcul numérique de prix d’options - Méthodes de Monte Carlo et discrétisation d’EDP.
Références
LAMBERTON D. & LAPEYRE B., (1997) : Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, Ellipses [17 LAM 00 A]
SHREVE S. (1997) : Stochastic calculus and finance, Lecture notes [78 SHR 00 A]
DANA & JEANBLANC (1998) : Marchés financiers en temps continu – Valorisation et équilibre , Economica [78 DAN 00 A]
OKSENDAL B. (1998) : Stochastic differential equations, Springer [17 OKS 00 A]
REVUZ D. & YOR M. (1999) : Continuous martingales and brownian motion, Springer [17 REV 00 B]
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